线性代数学习笔记01-行列式

排列与逆序

  定义1.1 在一个n级排列$ i_1i_2…..i_n $中，如果较大的数$ i_t $在较小数$ i_s $前面（$ i_t $ > $ i_s $），则称$ i_t $与$ i_s $构成一个逆序。一个n级排列中逆序的总数称为它的逆序数，记为N（$ i_1i_2…..i_n $）。如果排列$ i_1i_2…..i_n $的逆序数N（$ i_1i_2…..i_n $）是奇数，则称为奇排列，逆序数是偶数则称为偶排列。
  在一个排列 $i_1…i_s…i_t…i_n$中，如果仅将它的两个数码$i_s$和$i_t$对调，得到另一个排列 $i_1…i_t…i_s…i_n$,这样的对话记为对换($i_s$，$i_t$)。

逆序数性质

  定理1.1 任意一个排列经过一个对换后改变其奇偶性。

  定理1.2 n(n > 1)个数码共有n！个n级排列，其中奇、偶排列各占一半。

n阶行列式

  定义1.2 用 $ n^2 $ 个数 $ a_{ij} $(i,j = 1,2,3,…..,n)组成的记号

$$\begin {vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots& \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end {vmatrix}$$

称为n阶行列式。其中横排称为行，竖排称为列。它表示所有取自不同的行、列的n个元素乘积的代数和。各项的符号是：当这一项中元素的行标按照自然数顺序排列后，如果对应的列标构成的排列是偶排列取正号，是奇排列则取负号。因此n阶行列式所表示的代数和中的一般项可以写为

$$(-1)^{N(j_1j_2j_3...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}....a_{nj_n}$$

其中，$j_1j_2j_3…j_n$构成一个n级排列，当$ j_1j_2j_3…j_n$取遍所有n级排列时，则得到n级行列式的代数和中所有的项，即

$$\begin {vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots& \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end {vmatrix} = \sum(-1)^{N(j_1j_2j_3...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}....a_{nj_n} .$$

  三种特殊的行列式，下三角行列式：

$$D = \begin {vmatrix} a_{11} & 0 & 0 &\cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 &\cdots & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} &\cdots & 0 \\ \vdots & \vdots& \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} \end {vmatrix}$$

  上三角行列式：

$$D = \begin {vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ 0 & 0 & a_{33} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots& \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end {vmatrix}$$

  对角行行列式：

$$D = \begin {vmatrix} a_{11} & 0 & 0 &\cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 &\cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} &\cdots & 0 \\ \vdots & \vdots& \vdots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end {vmatrix}$$

n阶行列式性质

  定理1.3 n阶行列式D = |$a_{ij}$|的一般项可以记为

$$(-1)^{N(i_1i_2i_3...i_n)+N(j_1j_2j_3...j_n)}a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}....a_{i_nj_n}.$$

其中，$ i_1i_2i_3…i_n $和$ j_1j_2j_3…j_n $均为n阶排列。即

$$\begin {vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots& \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end {vmatrix} = \sum(-1)^{N(i_1i_2i_3...i_n)+N(j_1j_2j_3...j_n)}a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}....a_{i_nj_n} .$$

  定理1.4 n阶行列式也可以定义为

$$D = \sum(-1)^{N(i_1i_2i_3...i_n)}a_{i_11}a_{i_22}....a_{i_nn}.$$

其中，$ \sum $表示对所有的n阶排列求和。

  定理1.5 行列式与它的转置行列式相等，即

$$D^T = D$$

  定理1.6 交换行列式的任意两行(列)，行列式变号。
  推论 如果行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式为零。

  定理1.7 用数k乘以行列式的一行（列），等于以数k乘以此行列式。即，如果设D=|$a_{ij}$|,则

$$D_1 = \begin {vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots& \vdots & \vdots \\ ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} \\ \vdots & \vdots& \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end {vmatrix} = k\begin {vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots& \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots& \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end {vmatrix} =kD.$$

  推论1 如果行列式某行（列）的所有元素有公因子，则公因子可以提到行列式的外面。
  推论2 如果行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式为零。

  定理1.8 如果行列式D中的某一行（列）的每一个元素都是两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其他位置的元素与D相同，即如果

$$D = \begin {vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots& \vdots & \vdots \\ b_{i1} + c_{i1} & b_{i2} + c_{i2} & \cdots & b_{in} + c_{in} \\ \vdots & \vdots& \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end {vmatrix} ,$$ $$D_1 = \begin {vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots& \vdots & \vdots \\ b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \\ \vdots & \vdots& \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end {vmatrix} , D_2 = \begin {vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots& \vdots & \vdots \\ c_{i1} & c_{i2} & \cdots & c_{in} \\ \vdots & \vdots& \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end {vmatrix} ,$$

则$D = D_1 + D_2$
  推论1 如果将行列式某一行（列）的每一个元素都写成m个数（m为大于2的整数）的和，则此行列式可以写成m个行列式的和。

  定理1.9 将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数k后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式不变。

行列式按行（列）展开

  定义1.3 在n阶行列式D = |$a_{ij}$|中去掉元素$a_{ij}$所在的第i行和第j列后，余下的n-1阶行列式，称为D中元素$a_{ij}$的余子式，记为$M_{ij}$。在$a_{ij}$的余子式$M_{ij}$前添加符号$(-1)^{i+j}$，称为$a_{ij}$的代数余子式，记为$A_{ij}$，即$A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} .$

  定理1.10 n阶行列式D = |$a_{ij}$|等于它的任意一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积的和，即

$$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + a_{i3}A_{i3} + \cdots + a_{in}A_{in}, (i = 1,2,3,\cdots,n),$$

或

$$D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + a_{3j}A_{3j} + \cdots + a_{nj}A_{nj}, (j = 1,2,3,\cdots,n).$$

  定理1.11 n阶行列式D的某一行（列）的元素与另一航（列）的对应位置的元素的代数余子式乘积的和等于0。即

$$a_{i1}A_{s1} + a_{i2}A_{s2} + a_{i3}A_{s3} + \cdots + a_{in}A_{sn} = 0, (i \neq s),$$

或

$$a_{1j}A_{1t} + a_{2j}A_{2t} + a_{3j}A_{3t} + \cdots + a_{nj}A_{nt} = 0, (j \neq t).$$

克莱姆法则

  定理1.12 关于线性方程组

$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n \end{cases}$$

当其系数行列式

$$D = \begin {vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots& \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end {vmatrix} \neq 0$$

时，有且只有一个唯一解

$$x_j = \frac{D_j}{D} (j = 1,2,3, \cdots, n)$$

其中，$ D_j (j = 1,2,3, \cdots, n) $是将系数行列式中第j列元素$ a_{1j}, a_{2j}, \cdots, a_{nj} $对应地换成方程组的常数项$ b_1, b_2, \cdots, b_n $后得到的行列式。

  定理1.13 如果齐次线性方程组

$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\ \cdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = 0 \end{cases}$$

的系数行列式$ D \neq 0 $，则它只有零解。