线性代数学习笔记01-行列式

排列与逆序

  定义1.1 在一个n级排列$ i_1i_2…..i_n $中,如果较大的数$ i_t $在较小数$ i_s $前面($ i_t $ > $ i_s $),则称$ i_t $与$ i_s $构成一个逆序。一个n级排列中逆序的总数称为它的逆序数,记为N($ i_1i_2…..i_n $)。如果排列$ i_1i_2…..i_n $的逆序数N($ i_1i_2…..i_n $)是奇数,则称为奇排列,逆序数是偶数则称为偶排列。
  在一个排列 $i_1…i_s…i_t…i_n$中,如果仅将它的两个数码$i_s$和$i_t$对调,得到另一个排列 $i_1…i_t…i_s…i_n$,这样的对话记为对换($i_s$,$i_t$)。

逆序数性质

  定理1.1 任意一个排列经过一个对换后改变其奇偶性。

  定理1.2 n(n > 1)个数码共有n!个n级排列,其中奇、偶排列各占一半。

n阶行列式

  定义1.2 用 $ n^2 $ 个数 $ a_{ij} $(i,j = 1,2,3,…..,n)组成的记号

称为n阶行列式。其中横排称为行,竖排称为列。它表示所有取自不同的行、列的n个元素乘积的代数和。各项的符号是:当这一项中元素的行标按照自然数顺序排列后,如果对应的列标构成的排列是偶排列取正号,是奇排列则取负号。因此n阶行列式所表示的代数和中的一般项可以写为

其中,$j_1j_2j_3…j_n$构成一个n级排列,当$ j_1j_2j_3…j_n$取遍所有n级排列时,则得到n级行列式的代数和中所有的项,即

  三种特殊的行列式,下三角行列式:

  上三角行列式:

  对角行行列式:

n阶行列式性质

  定理1.3 n阶行列式D = |$a_{ij}$|的一般项可以记为

其中,$ i_1i_2i_3…i_n $和$ j_1j_2j_3…j_n $均为n阶排列。即

  定理1.4 n阶行列式也可以定义为

其中,$ \sum $表示对所有的n阶排列求和。

  定理1.5 行列式与它的转置行列式相等,即

  定理1.6 交换行列式的任意两行(列),行列式变号。
  推论 如果行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零。

  定理1.7 用数k乘以行列式的一行(列),等于以数k乘以此行列式。即,如果设D=|$a_{ij}$|,则

  推论1 如果行列式某行(列)的所有元素有公因子,则公因子可以提到行列式的外面。
  推论2 如果行列式有两行(列)的对应元素成比例,则行列式为零。

  定理1.8 如果行列式D中的某一行(列)的每一个元素都是两个数的和,则此行列式可以写成两个行列式的和,这两个行列式分别以这两个数为所在行(列)对应位置的元素,其他位置的元素与D相同,即如果


  推论1 如果将行列式某一行(列)的每一个元素都写成m个数(m为大于2的整数)的和,则此行列式可以写成m个行列式的和。

  定理1.9 将行列式某一行(列)的所有元素同乘以数k后加于另一行(列)对应位置的元素上,行列式不变。

行列式按行(列)展开

  定义1.3 在n阶行列式D = |$a_{ij}$|中去掉元素$a_{ij}$所在的第i行和第j列后,余下的n-1阶行列式,称为D中元素$a_{ij}$的余子式,记为$M_{ij}$。在$a_{ij}$的余子式$M_{ij}$前添加符号$(-1)^{i+j}$,称为$a_{ij}$的代数余子式,记为$A_{ij}$,即

  定理1.10 n阶行列式D = |$a_{ij}$|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应代数余子式乘积的和,即

  定理1.11 n阶行列式D的某一行(列)的元素与另一航(列)的对应位置的元素的代数余子式乘积的和等于0。即

克莱姆法则

  定理1.12 关于线性方程组

当其系数行列式

时,有且只有一个唯一解

其中,$ D_j (j = 1,2,3, \cdots, n) $是将系数行列式中第j列元素$ a_{1j}, a_{2j}, \cdots, a_{nj} $对应地换成方程组的常数项$ b_1, b_2, \cdots, b_n $后得到的行列式。

  定理1.13 如果齐次线性方程组

的系数行列式$ D \neq 0 $,则它只有零解。


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